Ви не забули, як вирішувати неповне квадратне рівняння?
Як вирішувати неповне квадратне рівняння? Відомо, що воно є приватним варіантом рівності ах2+вх + с = о, де а, в і с - речові коефіцієнти при невідомому х, і де а &ne- про, а в і з будуть нулями - одночасно або порізно. Наприклад, з = о, в &ne- про або навпаки. Ми майже згадали визначення квадратного рівняння.
уточнимо
Трехчлен другого ступеня дорівнює нулю. Перший його коефіцієнт а &ne- про, в і з можуть приймати будь-які значення. Значення змінної х тоді буде коренем рівняння, коли при підстановці зверне його в правильне числове рівність. Зупинимося на речових коренях, хоча рішеннями рівняння можуть бути і комплексні числа. Повним прийнято називати рівняння, в якому жоден з коефіцієнтів НЕ дорівнює о, а &ne- про, в &ne- про, з &ne- о.
Вирішимо приклад. 2х2-9х-5 = о, знаходимо
D = 81 + 40 = 121,
D позитивний, значить коріння є, х1 = (9 +&radic-121): 4 = 5, а другий х2 = (9-&radic-121): 4 = -о, 5. Перевірка допоможе переконатися, що вони вірні.
Ось поетапне вирішення квадратного рівняння
Через дискриминант можна вирішити будь-яке рівняння, в лівій частині якого відомий квадратний тричлен при а &ne- о. У нашому прикладі. 2х2-9х-5 = 0 (ах2+вх + с = о)
- Знаходимо спочатку дискриминант D за відомою формулою в2-4ас.
- Перевіряємо, яким буде значення D: у нас більше нуля, буває рівним нулю або менше.
- Знаємо, що якщо D> о, квадратне рівняння має всього 2 різних дійсних корені, їх позначають х1 зазвичай і х2,
ось як вирахували:
х1 = (-н +&radic-D) :( 2а), а другий: х2 = (-в-&radic-D) :( 2а). - D = o - один корінь, або, кажуть, два рівних:
х1 одно х2 і так само -в: (2а). - І нарешті, D
Розглянемо, які бувають неповні рівняння другого ступеня
- ах2+вх = o. Вільний член, коефіцієнт с при х0, тут дорівнює нулю, в &ne- o.
Як вирішувати неповне квадратне рівняння такого виду? Виносимо х за дужки. Згадуємо, коли твір двох множників дорівнює нулю.
x (ax + b) = o, це може бути, коли х = про або коли ax + b = o.
Вирішивши 2-е лінійне рівняння, маємо x = -в / а.
В результаті маємо коріння х1 = 0, за обчисленнями x2 = -b / A. - Тепер коефіцієнт при х дорівнює о, а з не дорівнює (&ne-) о.
x2+з = о. Перенесемо з в праву частину рівності, отримаємо x2 = -с. Це рівняння тільки тоді має речові коріння, коли -з позитивне число (з <о),
х1 тоді дорівнює &radic - (- с), відповідно х2 - -&radic - (- с). В іншому випадку рівняння зовсім не має коренів. - Останній варіант: b = c = o, тобто ах2 = О. Природно, таке простеньке рівняння має один корінь, x = о.
окремі випадки
Як вирішувати неповне квадратне рівняння розглянули, а тепер візьмемо будь-які види.
- У повному квадратному рівнянні другий коефіцієнт при х - парне число.
Нехай k = o, 5b. Маємо формули для обчислення дискримінанту і коренів.
D / 4 = k2- ас, коріння обчислюються так х1,2 = (-k ±&radic- (D / 4)) / а при D> o.
x = -k / a при D = o.
Ні коренів при D- Бувають наведені квадратні рівняння, коли коефіцієнт при х в квадраті дорівнює 1, їх прийнято записувати x2 +рх + q = o. На них поширюються всі вищенаведені формули, обчислення ж дещо простіше.
Приклад, х2-4х-9 = 0. Обчислюємо D: 22+9, D = 13.
х1 = 2 +&radic-13, х2 = 2&radic-13.- Крім того, до наведених легко застосовується теорема Вієта. У ній говориться, що сума коренів рівняння дорівнює -p, другого коефіцієнту з мінусом (мається на увазі протилежний знак), а твір цих же коренів дорівнюватиме q, вільному члену. Перевірте, як легко можна було б усно визначити коріння цього рівняння. Для неприведення (при всіх коефіцієнтах, що не рівних нулю) ця теорема застосовна так: сума x1+x2 дорівнює -в / а, твір х1·-х2 одно з / a.
- Бувають наведені квадратні рівняння, коли коефіцієнт при х в квадраті дорівнює 1, їх прийнято записувати x2 +рх + q = o. На них поширюються всі вищенаведені формули, обчислення ж дещо простіше.
Сума вільного члена с і першого коефіцієнта а дорівнює коефіцієнту b. У цій ситуації рівняння має не менше ніж один корінь (легко доводиться), перший обов`язково дорівнює -1, а другий -з / а, якщо він існує. Як вирішувати неповне квадратне рівняння, можна перевірити самостійно. Простіше простого. Коефіцієнти можуть перебувати в деяких співвідношеннях між собою
- x2+x = o, 7х2-7 = o.
- Сума всіх коефіцієнтів дорівнює о.
Коріння у такого рівняння - 1 і с / а. Приклад, 2х2-15х + 13 = o.
x1 = 1, х2 = 13/2.
Існує ряд інших способів вирішення різних рівнянь другого ступеня. Ось, наприклад, метод виділення з даного полінома повного квадрата. Графічних способів кілька. Коли часто маєш справу з такими прикладами, навчишся «клацати» їх, як насіння, адже всі способи приходять на розум автоматично.
