Рівняння гармонійних коливань і його значення в дослідженні природи коливальних процесів
Всі гармонійні коливання мають математичне вираження. Їх властивості характеризує сукупність тригонометричних рівнянь, складність яких визначається складністю самого коливального процесу, властивостями системи і середовищем, в якій вони відбуваються, тобто, зовнішніми факторами, які впливають на коливальний процес.
Наприклад, в механіці гармонійнеколивання є рух, якому властиві:
- прямолінійний характер;
- нерівномірність;
- переміщення фізичного тіла, яке відбувається по синусоїдальної або косинусоидальной траєкторії, а залежно від часу.
Виходячи з даних властивостей, можна привести рівняння гармонійних коливань, яке має вигляд:
x = A cos &omega-t або ж вид x = A sin &omega-t, де х - значення координати, А - значення амплітуди коливання, &omega- - коефіцієнт.
таке рівняння гармонійних коливань є основним для всіх гармонійних коливань, які розглядаються в кінематиці і механіці.
показник &omega-t, який в даній формулі стоїть під знаком тригонометричної функції, називають фазою, і вона визначає місцеположення хитається матеріальної точки в даний конкретний момент часу при заданій амплітуді. При розгляді циклічних коливань даний показник дорівнює 2л, він показує кількість механічних коливань в межах тимчасового циклу і позначається w. У цьому випадку рівняння гармонійних коливань містить його як показник величини циклічної (кругової) частоти.
Аналізованих нами рівняння гармонійних коливань, як уже зазначалося, може приймати різні види, в залежності від ряду факторів. Наприклад, ось такий варіант. щоб розглянути диференціальне рівняння вільних гармонійних коливань, слід враховувати те, що їм всім властиво загасання. У різних видах коливань це явище проявляється по-різному: зупинка рухомого тіла, припинення випромінювання в електричних системах. Найпростішим прикладом, що показує зменшення коливального потенціалу, виступає його перетворення в теплову енергію.
Аналізованих рівняння має вигляд: d²-s / dt²- + 2&beta- х ds / dt + &omega-²-s = 0. У цій формулі: s - значення величини, що коливається, яка характеризує властивості тієї чи іншої системи, &beta- - константа, що показує коефіцієнт загасання, &omega- - циклічна частота.
Використання такої формули дозволяє підходити до опису коливальних процесів в лінійних системах з єдиної точки зору, а також виробляти конструювання та моделювання коливальних процесів на науково-експериментальному рівні.
Наприклад, відомо, що затухаючі коливання на заключному етапі свого прояви вже перестають бути гармонійними, тобто категорії частоти і періоду для них стають просто безглуздими і в формулі не відображаються.
Класичним способом дослідження гармонійних коливань виступає гармонійний осцилятор. У найпростішому вигляді він являє систему, яку описує таке диференціальне рівняння гармонійних коливань: ds / dt + &omega-²-s = 0. Але різноманіття коливальних процесів природним чином призводить до того, що існує велика кількість осциляторів. Перерахуємо їх основні типи:
- пружинний осцилятор - звичайний вантаж, що володіє якоюсь масою m, який підвішений на пружною пружині. Він здійснює коливальні рухи гармонійного типу, які описуються формулою F = - kx.
- фізичний осцилятор (маятник) - тверде тіло, що здійснює коливальні рухи навколо статичної осі під впливом певної сили;
- математичний маятник (В природі практично не зустрічається). Він являє собою ідеальну модель системи, що включає нестійке фізичне тіло, що володіє певною масою, яке підвішене на жорсткій невагомою нитки.
