Коріння квадратного рівняння: алгебраїчний і геометричний сенс
В алгебрі квадратним називається рівняння другого порядку. Під рівнянням на увазі математичне вираз, що має в своєму складі одну або кілька невідомих. Рівняння другого порядку - це математичне рівняння, що має хоча б одну невідому в ступеня квадрат. Квадратне рівняння - другого порядку рівняння, наведене до виду тотожності, рівного нулю. Вирішити рівняння квадратне означає те ж саме, що визначити коріння рівняння квадратного. Типове квадратне рівняння в загальному вигляді:
W * c ^ 2 + T * c + O = 0
де W, T - коефіцієнти при коренях квадратного рівняння;
O - вільний коефіцієнт;
c - корінь квадратного рівняння (завжди має два значення c1 і c2).
Як вже говорилося, завдання вирішення квадратного рівняння - знаходження коренів квадратного рівняння. Для того щоб їх знайти, необхідно знайти дискримінант:
N = T ^ 2 - 4 * W * O
Дискримінант необхідний для вирішення формули знаходження кореня c1 і c2:
c1 = (-T + &radic-N) / 2 * W і c2 = (-T - &radic-N) / 2 * W
Якщо в квадратному рівнянні загального вигляду коефіцієнт при корені T має кратне значення, то рівняння замінюється на:
W * c ^ 2 + 2 * U * c + O = 0
І його коріння виглядають як вираз:
c1 = [-U + &radic- (U ^ 2-W * O)] / W і c2 = [-U - &radic- (U ^ 2-W * O)] / W
Часто рівняння може мати дещо інший вигляд, коли с_2 може не мати коефіцієнта W. В такому випадку вищевказане рівняння має вигляд:
c ^ 2 + F * c + L = 0
де F - коефіцієнт при корені;
L - вільний коефіцієнт;
c - корінь рівняння квадратного (завжди має два значення c1 і c2).
Даний вид рівняння називається квадратним рівнянням наведеним. Назва "наведене" пішло від формули приведення типового квадратного рівняння, якщо коефіцієнт при корені W має значення одиниця. В такому випадку коріння квадратного рівняння:
c1 = -F / 2 + &radic - [(F / 2) ^ 2-L)] і c2 = -F / 2 - &radic - [(F / 2) ^ 2-L)]
У разі парного значення коефіцієнта при корені F коріння матимуть рішення:
c1 = -F + &radic- (F ^ 2-L) c2 = -F - &radic- (F ^ 2-L)
Якщо говорити про квадратних рівняннях, то слід згадати і Теорему Вієта. У ньому записано, що для наведеного квадратного рівняння існують такі закономірності:
c ^ 2 + F * c + L = 0
c1 + c2 = -F і c1 * c2 = L
Загалом квадратному рівнянні коріння квадратного рівняння пов`язані залежностями:
W * c ^ 2 + T * c + O = 0
c1 + c2 = -T / W і c1 * c2 = O / W
Тепер розглянемо можливі варіанти квадратних рівнянь і їх рішення. Всього їх може бути два, так як, якщо буде відсутній член c_2, то рівняння вже не буде квадратним. отже:
1. W * c ^ 2 + T * c = 0 Варіант квадратного рівняння без вільного коефіцієнта (члена).
Рішенням буде:
W * c ^ 2 = -T * c
c1 = 0, c2 = -T / W
2. W * c ^ 2 + O = 0 Варіант квадратного рівняння без другого доданка, коли однакові за модулем коріння квадратного рівняння.
Рішенням буде:
W * c ^ 2 = -O
c1 = &radic - (- O / W), c2 = - &radic - (- O / W)
Все це була алгебра. Розглянемо геометричний сенс який має квадратне рівняння. Рівнянням другого порядку в геометрії описується функція параболи. Для учнів середньої школи досить часто стоїть завдання, як знайти коріння квадратного рівняння? Дані коріння рівняння дають поняття, як перетинається графік функції (параболи) з віссю координат - абсцис. Якщо, вирішивши квадратне рівняння, ми отримуємо ірраціональне рішення коренів, то перетину не буде. Якщо корінь має одну фізичну значення, то функція перетинає вісь абсцис в одному місці. Якщо два кореня, то, відповідно, - дві точки перетину.
Варто відзначити, що під ірраціональним коренем мають на увазі негативне значення під коренем, при знаходженні коренів. Фізичне значення - будь-яке позитивне чи негативне значення. У разі знаходження тільки одного кореня мають на увазі, що коріння однакові. Орієнтацію кривої на декартовій системі координат також можна попередньо визначити за коефіцієнтами при коренях W і T. Якщо W має позитивне значення, то обидві гілки параболи мають напрямок вгору. Якщо W має від`ємне значення, то - вниз. Також, якщо коефіцієнт В має позитивний знак, при цьому W також позитивне, то вершина функції параболи знаходиться в межах "y" від "-" нескінченності до "+" нескінченності, "c" в межах від мінус нескінченності до нуля. Якщо T - позитивне значення, а W - негативне, то по інший бік осі абсцис.
