Вивчаємо маятник - як знайти період коливань математичного маятника
Різноманіття коливальних процесів, які оточують нас, так значно, що просто дивуєшся - а є що-небудь, що не сумнівається? Навряд чи, адже навіть зовсім нерухомий предмет, скажімо камінь, який тисячі років лежить нерухомо, все одно робить коливальні процеси - він періодично нагрівається вдень, збільшуючись, а вночі остигає і зменшується в розмірах. І найближчий приклад - дерева і гілки - невтомно коливаються все своє життя. Але то - камінь, дерево. А якщо точно так само коливається від напору вітру 100 поверхова будівля? Відомо, наприклад, що верхівка Останкінської телевежі відхиляється туди-сюди на 5-12 метрів, ну чим не маятник висотою 500 м. А наскільки збільшується в розмірах подібна споруда від перепадів температур? Сюди ж можна зарахувати і вібрації корпусів машин і механізмів. Тільки подумайте, літак, в якому ви летите, безперервно коливається. Чи не передумали літати? Не варто, тому що коливання - це сутність оточуючого нас світу, від них не можна позбутися - їх можна тільки враховувати і застосовувати "користі заради".
Як водиться, вивчення найскладніших областей знання (а простими вони не бувають) починається зі знайомства з найпростішими моделями. І немає більш простою і зрозумілою для сприйняття моделі коливального процесу, ніж маятник. Саме тут, в кабінеті фізики, ми вперше чуємо таку загадкову фразу - "період коливань математичного маятника". Маятник - це нитка і вантаж. І що ж це за такий особливий маятник - математичний? А все дуже просто, для цього маятника передбачається, що його нитка не має ваги, нерастяжима, а матеріальна точка коливається під дією сил тяжкості. Справа в тому, що зазвичай, розглядаючи якийсь процес, наприклад, коливання, не можна абсолютно повністю врахувати фізичні характеристики, наприклад, вага, пружність і т.д. всіх учасників експерименту. У той же час вплив деяких з них на процес зневажливо мало. Наприклад, апріорі зрозуміло, що вага і пружність нитки маятника при певних умовах не роблять помітного впливу на період коливань математичного маятника, як мізерно малі, тому їх вплив виключають з розгляду.
визначення періоду коливань маятника, чи не найпростіше з відомих, звучить так: період - це час, за який здійснюється одне повне коливання. Давайте зробимо мітку в одній з крайніх точок руху вантажу. Тепер кожен раз, коли точка закривається, робимо відлік кількості повних коливань і засікаємо час, скажімо, 100 коливань. Визначити тривалість одного періоду зовсім нескладно. Проробимо цей експеримент для коливається в одній площині маятника в наступних випадках:
- різна початкова амплітуда;
- різна маса вантажу.
Ми отримаємо приголомшливий на перший погляд результат: у всіх випадках період коливань математичного маятника залишається незмінним. Іншими словами, початкова амплітуда і маса матеріальної точки на тривалість періоду впливу не роблять. Для подальшого викладу є тільки одна незручність - тому що висота вантажу при русі змінюється, то і повертає сила по траєкторії змінна, що незручно для розрахунків. Злегка схитрувати - Качного маятник ще і в поперечному напрямку - він почне описувати конусоподібну поверхню, період Т його обертання залишиться колишнім, швидкість руху по колу V - постійна, довжина кола, по якій рухається вантаж S = 2&pi-r, а повертає сила спрямована по радіусу.
Тоді обчислимо період коливань математичного маятника:
Т = S / V = 2&pi-r / v
Якщо довжина нитки l значно більше розмірів вантажу (хоча б в 15-20 разів), і кут нахилу нитки невеликий (малі амплітуди), то можна вважати, що повертає сила P дорівнює центростремительной силі F:
Р = F = m * V * V / r
З іншого боку, момент повертає сили і момент інерції вантажу рівні, і тоді
P * l = r * (m * g), звідки отримуємо, якщо врахувати, що P = F, рівність: r * m * g / l = m * v * v / r
Зовсім неважко знайти швидкість маятника: v = r *&radic-g / l.
А тепер згадуємо найперше вираз для періоду і підставляємо значення швидкості:
Т = 2&pi-r / r *&radic-g / l
Після тривіальних перетворень формула періоду коливань математичного маятника в остаточному вигляді виглядає так:
Т = 2 &pi- &radic- l / g
Тепер уже раніше експериментально отримані результати незалежності періоду коливань від маси вантажу і амплітуди отримали своє підтвердження в аналітичному вигляді і зовсім не здаються такими "приголомшливими", Як то кажуть, що й треба було довести.
Крім усього іншого, розглядаючи останній вираз для періоду коливання математичного маятника, можна бачити прекрасну можливість для вимірювання прискорення сили тяжіння. Для цього досить зібрати якийсь еталонний маятник в будь-якій точці Землі і провести вимірювання періоду його коливань. Ось так, зовсім несподівано, простенький і нехитрий маятник подарував нам чудову можливість дослідження розподілу щільності земної кори, аж до пошуку покладів земних копалин. Але це вже зовсім інша історія.
