Дріб. Множення дробів звичайних, десяткових, змішаних
В курсі середньої та старшої школи учні проходили тему «Дроби». Однак це поняття набагато ширше, ніж дається в процесі навчання. Сьогодні поняття дробу зустрічається досить часто, і не кожен може провести обчислення будь-якого виразу, наприклад, множення дробів.
Содержание
Що таке дріб?
Так історично склалося, що дробові числа з`явилися через необхідність вимірювати. Як показує практика, часто зустрічаються приклади на визначення довжини відрізка, обсягу прямокутного паралелепіпеда, площі прямокутника.
Спочатку учні знайомляться з таким поняттям, як частка. Наприклад, якщо розділити кавун на 8 частин, то кожному дістанеться по одній восьмій кавуна. Ось ця одна частина з восьми і називається часткою.
Частка, що дорівнює ½- від будь-якої величини, називається половіной- - третє- ¼- - чвертю. записи виду 5/8, 4/5, 2/4 називають звичайними дробами. Звичайна дріб розділяється на чисельник і знаменник. Між ними знаходиться риса дробу, або подрібнена риса. Дробову риску можна намалювати у вигляді як горизонтальної, так і похилій лінії. В даному випадку вона позначає знак ділення.
Знаменник являє, на скільки рівних частин поділяють величину, предмет-а чисельник - скільки рівних частин взято. Чисельник пишеться над дробової рисою, знаменник - під нею.
Найзручніше показати звичайні дроби на координатному промені. Якщо одиничний інтервал розділити на 4 рівні частки, позначити кожну частку латинською буквою, то в результаті можна отримати відмінне наочне приладдя. Так, точка А показує частку, рівну 1/4 від всього одиничного відрізка, а точка В відзначає 2/8 від даного відрізка.
різновиди дробів
Дробу бувають звичайні, десяткові, а також змішані числа. Крім того, дробу можна розділити на правильні і неправильні. Ця класифікація більше підходить для звичайних дробів.
Під правильним дробом розуміють число, у якого чисельник менше знаменника. Відповідно, неправильна дріб - число, у якого чисельник більше знаменника. Другий вид зазвичай записують у вигляді змішаного числа. Такий вираз складається з цілої і дробової частини. Наприклад, 1½-. 1 - ціла частина, ½- - дрібна. Однак якщо потрібно провести якісь маніпуляції з виразом (розподіл або множення дробів, їх скорочення або перетворення), змішане число переводиться в неправильну дріб.
Правильне дробове вираження завжди менше одиниці, а неправильне - більше або дорівнює 1.
Що стосується десяткових дробів, то під цим виразом розуміють запис, в якій представлено будь-яке число, знаменник дрібного вираження якого можна виразити через одиницю з декількома нулями. Якщо дріб правильна, то ціла частина в десяткового запису буде дорівнює нулю.
Щоб записати десяткову дріб, потрібно спочатку написати цілу частину, відокремити її від дробу за допомогою коми і потім вже записати дробове вираження. Необхідно пам`ятати, що після коми чисельник повинен містити стільки ж цифрових символів, скільки нулів у знаменнику.
приклад. Уявити дріб 721/1000 в десяткового запису.
Алгоритм перекладу неправильного дробу в змішане число і навпаки
Записувати у відповіді завдання неправильну дріб некоректно, тому її потрібно перевести в змішане число:
- розділити чисельник на наявний знаменник;
- в конкретному прикладі неповна частка - ціле;
- і залишок - чисельник дробової частини, причому знаменник залишається незмінним.
приклад. Перекласти неправильну дріб в змішане число: 47/5.
Рішення. 47: 5. Неповне приватне дорівнює 9, залишок = 2. Отже, 47/5 = 92/5.
Іноді потрібно представити змішане число в якості неправильного дробу. Тоді потрібно скористатися наступним алгоритмом:
- ціла частина множиться на знаменник дрібного вираження;
- отримане твір додається до чисельника;
- результат записується в чисельнику, знаменник залишається незмінним.
приклад. Уявити число в змішаному вигляді як неправильного дробу: 98/10.
Рішення. 9 х 10 + 8 = 90 + 8 = 98 - чисельник.
відповідь: 98/10.
Множення дробів звичайних
Над звичайними дробами можна здійснювати різні операції алгебри. Щоб перемножити два числа, потрібно чисельник перемножити з чисельником, а знаменник зі знаменником. Причому множення дробів з різними знаменателяміне відрізняється від твору дробових чисел з однаковими знаменниками.
Трапляється, що після знаходження результату потрібно скоротити дріб. В обов`язковому порядку потрібно максимально спростити вийшло вираз. Звичайно, не можна сказати, що неправильна дріб у відповіді - це помилка, але і назвати вірною відповіддю її теж важко.
приклад. Знайти добуток двох звичайних дробів: ½- і 20/18.
Як видно з прикладу, після знаходження твори вийшла скоротна подрібнена запис. І чисельник, і знаменник в даному випадку ділиться на 4, і результатом виступає відповідь 5/9.
Множення дробів десяткових
Твір десяткових дробів досить сильно відрізняється від твору звичайних за своїм принципом. Отже, множення дробів полягає в наступному:
- дві десяткові дроби потрібно записати один під одним так, щоб крайні праві цифри виявилися один під одним;
- потрібно перемножити записані числа, незважаючи на коми, тобто як натуральні;
- підрахувати кількість цифр після знаку коми в кожному з чисел;
- в отриманому після перемноження результаті потрібно відрахувати справа стільки цифрових символів, скільки міститься в сумі в обох множниках після коми, і поставити відокремлює знак;
- якщо цифр в творі виявилося менше, тоді перед ними потрібно написати стільки нулів, щоб покрити цю кількість, поставити кому і приписати цілу частину, рівну нулю.
приклад. Обчислити добуток двох десяткових дробів: 2,25 і 3,6.
Рішення.
Множення змішаних дробів
Щоб обчислити добуток двох змішаних дробів, потрібно керуватися правилом множення дробів:
- перевести числа в змішаному вигляді в неправильні дроби;
- знайти твір числителей;
- знайти твір знаменників;
- записати отриманий результат;
- максимально спростити вираз.
приклад. Знайти твір 4½- і 62/5.
Множення числа на дріб (дробу на число)
Крім знаходження добутку двох дробів, мішаних чисел, зустрічаються завдання, де потрібно помножити натуральне число на дріб.
Отже, щоб знайти твір десяткового дробу і натурального числа, потрібно:
- записати число під дробом так, щоб крайні праві цифри виявилися одна над іншою;
- знайти твір, незважаючи на кому;
- в отриманому результаті відокремити цілу частину від дробової за допомогою коми, відрахувавши справа то кількість знаків, яке знаходиться після коми в дробу.
Щоб помножити звичайну дріб на число, слід знайти твір чисельника і натурального множника. Якщо у відповіді виходить скоротна дріб, її слід перетворити.
приклад. обчислити твір 5/8 і 12.
Рішення. 5/8 * 12 = (5 * 12)/8 = 60/8 = 30/4 = 15/2 = 71/2.
відповідь: 71/2.
Як видно з попереднього прикладу, необхідно було скоротити отриманий результат і перетворити неправильне дробове вираження в змішане число.
Також множення дробів стосується і перебування твори числа в змішаному вигляді і натурального множника. Щоб перемножити ці два числа, слід цілу частину змішаного множника помножити на число, чисельник помножити на це ж значення, а знаменник залишити незмінним. Якщо потрібно, потрібно максимально спростити отриманий результат.
приклад. Знайти твір 95/6 і 9.
Рішення. 95/6 х 9 = 9 х 9 + (5 х 9)/6 = 81 + 45/6 = 81 + 73/6 = 881/2.
відповідь: 881/2.
Множення на множники 10, 100, 1000 або 0,1 0,01 0,001
З попереднього пункту випливає наступне правило. Для множення дробу десяткової на 10, 100, 1000, 10000 і т. Д. Потрібно пересунути кому вправо на стільки символів цифр, скільки нулів у множнику після одиниці.
приклад 1. Знайти твір 0,065 і 1000.
Рішення. 0,065 х 1000 = 0065 = 65.
відповідь: 65.
приклад 2. Знайти твір 3,9 і 1000.
Рішення. 3,9 х 1000 = 3,900 х 1000 = 3900.
відповідь3900.
Якщо потрібно перемножити натуральне число і 0,1- 0,01 0,001 0,0001 і т. Д., Слід пересунути вліво кому в отриманому творі на стільки символів цифр, скільки нулів знаходиться до одиниці. Якщо необхідно, перед натуральним числом записуються нулі в достатній кількості.
приклад 1. Знайти твір 56 і 0,01.
Рішення. 56 х 0,01 = 0056 = 0,56.
відповідь: 0,56.
приклад 2. Знайти твір 4 і 0,001.
Рішення. 4 х 0,001 = 0004 = 0,004.
відповідь: 0,004.
Отже, знаходження твори різних дробів не повинно викликати труднощів, хіба що підрахунок результата- в такому випадку без калькулятора просто не обійтися.
