Властивості ступеня
Зведення числа в натуральну ступінь означає його безпосереднє повторення власним співмножником в натуральне число раз. Число, що повторюється як сомножителя - це підстава ступеня, а число, яке вказує на кількість однакових множників, називають показником ступеня. Отриманий результат виконаних дій і є ступінь. Наприклад, три в шостого ступеня означає повторення числа три в вигляді множника шість разів.
Підставою ступеня може виступати будь-яке число, відмінне від нуля.
Друга і третя ступені числа мають спеціальні назви. Це, відповідно, квадрат і куб.
За першу ступінь числа приймають саме ж це число.
Для позитивних чисел також визначено ступінь, має раціональний показник. Як всім відомо, будь-який раціональне число записується у вигляді дробу, чисельник якого є цілим, знаменник ж - натуральним, тобто цілим позитивним, відмінним від одиниці.
Ступінь з раціональним показником вдає із себе корінь ступеня, рівний знаменника показника ступеня, а подкоренное вираз - це підстава ступеня, зведене в ступінь, рівну чисельнику. Наприклад: три в 4/5 дорівнює кореню п`ятого ступеня з трьох в четвертій.
Відзначимо деякі властивості, що випливають безпосередньо з розглянутого визначення:
- будь-яке позитивне число в раціональної ступеня - позитивно;
- значення ступеня з раціональним показником не залежить від форми його запису;
- якщо підстава негативне, то раціональна ступінь цього числа не визначена.
При позитивному підставі властивості мірою вірні незалежно від показника.
Властивості степеня з натуральним показником:
1. Примножуючи ступеня, що мають однакові підстави, підстава залишають без зміни і складають показники. Наприклад: при множенні трьох в п`ятого ступеня на три в сьомий отримують три в дванадцятому ступені (5 + 7 = 12).
2. При розподілі ступенів, що мають однакові підстави, їх залишають без зміни, а показники вичитують. Наприклад: при розподілі трьох в восьмий на три в п`ятого ступеня отримують три в квадраті (8-5 = 3).
3. Коли ступінь зводять до рівня, підставу залишають без зміни, а показники перемножують. Наприклад: при зведенні 3 в п`ятій в сьому отримують 3 в тридцять п`ятої (5х7 = 35).
4. Щоб звести твір в ступінь, в ту ж зводиться кожен з множників. Наприклад: при зведенні твори 2х3 в п`яту отримують твір два в п`ятій на три в п`ятій.
5. Щоб звести дріб в ступінь, в ту ж ступінь зводять чисельник і знаменник. Наприклад: при зведенні 2/5 в п`яту отримують дріб, у чисельнику якого - два в п`ятій, в знаменнику - п`ять в п`ятій.
Зазначені властивості мірі справедливі і для дрібних показників.
Властивості ступеня з раціональним показником
Введемо деякі визначення. Будь-яке відмінне від 0 дійсне число, зведена в нульову, дорівнює одиниці.
Будь-яке відмінне від 0 дійсне число, зведена в ступінь з негативним цілим показником - це дріб з чисельником одиниця і знаменником, рівним ступеня того ж числа, але має протилежний показник.
Доповнимо властивості ступеня декількома новими, які стосуються раціональних показників.
Ступінь з раціональним показником не змінюється при множенні або діленні чисельника і знаменника його показника на нерівне нулю одне і те ж число.
При підставі більше одиниці:
- якщо показник позитивний, то ступінь більше 1;
- при негативному - менше одиниці.
При підставі менше одиниці, навпаки:
- якщо показник позитивний, то ступінь менше одиниці;
- при негативному - більше 1.
Коли показник ступеня зростає, то:
- росте сама ступінь, якщо підстава більше одиниці;
- убуває, якщо підстава менше одиниці.
