Площа підстави призми: від трикутної до багатокутної
Різні призми несхожі один на одного. У той же час у них багато спільного. Щоб знайти площу основи призми, потрібно розібратися в тому, який вигляд воно має.
Содержание
Загальна теорія
Призмою є будь-багатогранник, бічні сторони якого мають вигляд паралелограма. При цьому в її підставі може виявитися будь-який багатогранник - від трикутника до n-кутника. Причому підстави призми завжди дорівнюють один одному. Що не відноситься до бічних граней - вони можуть істотно відрізнятися за розмірами.
При вирішенні завдань зустрічається не тільки площа підстави призми. Може знадобитися знання бічній поверхні, тобто всіх граней, які не є підставами. Повної поверхнею вже буде об`єднання всіх граней, які складають призму.
Іноді в задачах фігурує висота. Вона є перпендикуляром до підстав. Діагоналлю багатогранника є відрізок, який з`єднує попарно дві будь-які вершини, які не належать одній грані.
Слід зазначити, що площа підстави прямої призми або похилій не залежить від кута між ними і бічними гранями. Якщо у них однакові фігури у верхній і нижній гранях, то їх площі будуть рівними.
трикутна призма
Вона має в основі фігуру, що має три вершини, тобто трикутник. Він, як відомо, буває різним. якщо трикутник прямокутний, то досить згадати, що його площа визначається половиною твори катетів.
Математична запис виглядає так: S = ½- ав.
Щоб дізнатися площа підстави трикутної призми в загальному вигляді, знадобляться формули: Герона і та, в якій береться половина боку на висоту, проведену до неї.
Перша формула повинна бути записана так: S = &radic- (р (р-а) (р-в) (р-с)). У цьому записі присутній напівпериметр (р), тобто сума трьох сторін, розділена на два.
Друга: S = ½- на * А.
Якщо потрібно дізнатися площа підстави трикутної призми, яка є правильною, то трикутник виявляється рівностороннім. Для нього існує своя формула: S = ¼- а2 * &radic-3.
чотирикутна призма
Її підставою є будь-який з відомих чотирикутників. Це може бути прямокутник або квадрат, паралелепіпед або ромб. У кожному разі для того, щоб обчислити площу основи призми, буде потрібна своя формула.
Якщо підстава - прямокутник, то його площа визначається так: S = ав, де а, в - сторони прямокутника.
Коли мова йде про чотирикутної призмі, то площа підстави правильної призми обчислюється за формулою для квадрата. Тому що саме він виявляється лежачим в основі. S = а2.
У разі коли підстава - це паралелепіпед, буде потрібно така рівність: S = а * на. Буває таке, що дано сторона паралелепіпеда і один з кутів. Тоді для обчислення висоти буде потрібно скористатися додатковою формулою: на = В * sin А. Причому кут А прилягає до сторони «в», а висота на протилежна до цього кутку.
Якщо в основі призми лежить ромб, то для визначення його площі буде потрібна та ж формула, що для паралелограма (так як він є його окремим випадком). Але можна скористатися і такою: S = ½- d1 d2. тут d1 і d2 - дві діагоналі ромба.
Правильна п`ятикутна призма
Цей випадок передбачає розбиття багатокутника на трикутники, площі яких дізнатися простіше. Хоча буває, що фігури можуть бути з іншою кількістю вершин.
Оскільки підстава призми - правильний п`ятикутник, то він може бути розділений на п`ять рівносторонніх трикутників. Тоді площа підстави призми дорівнює площі одного такого трикутника (формулу можна подивитися вище), помноженої на п`ять.
Правильна шестикутна призма
За принципом, описаним для п`ятикутної призми, вдається розбити шестикутник підстави на 6 рівносторонніх трикутників. Формула площі підстави такої призми подібна попередньої. Тільки в ній площа рівностороннього трикутника слід множити на шість.
Виглядати формула буде таким чином: S = 3/2 а2 * &radic-3.
завдання
№ 1. Дана правильна пряма чотирикутна призма. Її діагональ дорівнює 22 см, висота багатогранника - 14 см. Обчислити площу основи призми і всієї поверхні.
Рішення. Підставою призми є квадрат, але його сторона не відома. Знайти її значення можна з діагоналі квадрата (х), яка пов`язана з діагоналлю призми (d) і її висотою (н). х2 = d2 - н2. З іншого боку, цей відрізок «х» є гіпотенузою в трикутнику, катети якого дорівнюють стороні квадрата. Тобто х2 = а2 + а2. Таким чином виходить, що а2 = (D2 - н2) / 2.
Підставити замість d число 22, а «н» замінити його значенням - 14, то виходить, що сторона квадрата дорівнює 12 см. Тепер просто дізнатися площа підстави: 12 * 12 = 144 см2.
Щоб дізнатися площа всієї поверхні, потрібно скласти подвоєне значення площі підстави і учетверенное бічну. Останню легко знайти за формулою для прямокутника: перемножити висоту багатогранника і сторону підстави. Тобто 14 і 12, це число буде дорівнює 168 см2. Загальна площа поверхні призми виявляється 960 см2.
Відповідь. Площа підстави призми дорівнює 144 см2. Всій поверхні - 960 см2.
№ 2. Дана правильна трикутна призма. В основі лежить трикутник зі стороною 6 см. При цьому діагональ бічної грані складає 10 см. Обчислити площі: підстави і бічної поверхні.
Рішення. Так як призма правильна, то її підставою є рівносторонній трикутник. Тому його площа виявляється дорівнює 6 в квадраті, помноженому на ¼- і на корінь квадратний з 3. Просте обчислення приводить до результату: 9&radic-3 см2. Це площа одного підстави призми.
Всі бічні грані однакові і являють собою прямокутники зі сторонами 6 і 10 см. Щоб обчислити їх площі, досить перемножити ці числа. Потім помножити їх на три, бо бічних граней у призми саме стільки. Тоді площа бічної поверхні виявляється раною 180 см2.
Відповідь. Площі: підстави - 9&radic-3 см2, бічної поверхні призми - 180 см2.
